Question

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（

π

12

）=0；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010）（x-2011），则g′（2011）=2010！；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中假命题为

①②④

．

Answer 1

分析：①利用复合函数的导数公式判断．②先求导数，代入求值即可．③利用积的导数公式计算．④利用导数和极值之间的关系判断．

解答：解：①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），①错误；
②h′（x）=4cos³x（-sinx）-4sin³xcosx=-4sinxcosx=-2sin2x，则h′（

π

12

）=-1，②错；
③g（x）=[（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2010）]（x-2011），则g'（x）=[（x-1）…（x-2010）]'（x-2011）+[（x-1）…（x-2010）]，
所以g′（2011）=1×1×…2010=2010！所以正确．
④f′（x）=3ax²+2bx+c，△=4b²-12ac=4（b²-3ac），只需b²-3ac＞0即可，a+b+c=0是b²-3ac＞0的充分不必要条件，④错．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握复合函数的导数公式．