分析 先计算出前几项,再进行归纳猜想,证明,由此求出数列{an}的通项公式,结合an≥$\frac{13}{11}$,求得最大正整数n的值.
解答 解:已知数列{an}中a1=2,当n≥2时,an=$\frac{7{a}_{n-1}-3}{3{a}_{n-1}+1}$,
∴a2=$\frac{11}{7}$,
a3=$\frac{7}{5}$=$\frac{14}{10}$,
a4=$\frac{17}{13}$
…
猜想an=$\frac{3n+5}{3n+1}$.
①当n=1时,显然成立.
②假设n=k(k≥1)时成立,即ak=$\frac{3k+5}{3k+1}$,
则当n=k+1时,ak+1=$\frac{7{a}_{k}-3}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{3k+11}{3k+7}$=$\frac{3(k+1)+5}{3(k+1)+3}$.
由①②知,an=$\frac{3n+5}{3n+1}$.
由an≥$\frac{13}{11}$,
得$\frac{3n+5}{3n+1}$$≥\frac{13}{11}$.
即$n≤\frac{42}{6}$.
∵n为正整数,
∴n的最大值为7.
故答案为:7.
点评 本题考查数列的递推公式的应用,解题时注意合理地进行猜想和数学归纳法的灵活运用,考查了等比关系的确定,训练了不等式的解法,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [-2,0] | B. | [-2,1] | C. | [0,1] | D. | [0,2] |
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A. | [-6,0) | B. | [-4,0) | C. | (0,4] | D. | (0,6] |
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年份(x) | 2010年 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 |
中度以上污染的天数(y) | 90 | 74 | 62 | 54 | 45 |
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