Question

a＞0且a≠1，已知关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}求不等式log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜0的解集．

Answer 1

分析：本题先根据给出的不等式a^x＞1的解集得出a的取值范围，然后根据a的取值范围解要求的不等式的解集，由于a的取值不定，所以结果需分类讨论．

解答：解：由不等式a^x＞1?a^x＞a⁰，因为不等式a^x＞1解集是{x|x＜0}，所以0＜a＜1．
所以不等式log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜0?log_a[2x²-（2a+1）x+a+1]＜log_a¹，
有2x²-（2a+1）x+a+1＞1．解此不等式得2x²-（2a+1）x+a＞0，（x-a）（2x-1）＞0．
当0＜a＜

1

2

时，不等式（x-a）（2x-1）＞0的解集为{x|x＜a或x＞

1

2

}；
当

1

2

＜a＜1时，不等式（x-a）（2x-1）＞0的解集为{x|x＜

1

2

或x＞1}．

点评：本题综合考查指数函数和对数函数的单调性，根据给出的解集逆向确定a的取值范围再求解