Question

已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），点P满足

AB

=

BP

．
（1）求函数f（x）=

BP

•

CA

的对称轴方程；
（2）若

OP

∥

OC

，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）化简可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），即可求对称轴方程；
（2）设点P的坐标为（x_p，y_p），由

AB

=

BP

，

OP

∥

OC

可得cos2x=

9

25

，故可求得|

OA

+

OB

|，|

OA

-

OB

|．

解答： 解：（1）∵

BP

=

AB

=（cosx-sinx，-1），

CA

=（2sinx，-1），
f（x）=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，
所以函数f（x）=

BP

•

CA

的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．
（2）设点P的坐标为（x_p，y_p），则

BP

=（x_p-cosx，y_p），
∵

BP

=

AB

，∴cosx-sinx=x_p-cosx，y_p=-1，
∴x_p=2cosx-sinx，y_p=-1，∴点P的坐标为（2cosx-sinx，-1），
因为

OC

=（-sinx，2）且

OP

∥

OC

，
∴（-1）×（-sinx）=2×（2cosx-sinx），∴

sinx

cosx

=

4

3

，
∵sin²x+cos²x=1，∴cos2x=

9

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinx+cosx)2+1

=

2sinxcosx+2

=

8 3 cos2x+2

=

74

5

，
∴|

OA

-

OB

|=

(sinx-cosx)2+1

=

2-2sinxcosx

=

2- 8 3 cos2x

=

26

5

，
故以

OA

，

OB

为邻边的平行四边形的对角线长分别为

74

5

，

26

5

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合应用，属于中档题．