Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD= AD，AE⊥PC于点E，EF∥CD，交PD于点F （Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， ∵AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，
∵AE⊥PC，∴PC⊥平面ADE，
∵PC平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）设AB=1，则PD= ，PC=PA=2，
由（Ⅰ）知PC⊥平面ADE，
∴DE⊥PC，CE= ，PE= ，
以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0， ），
E（0， ， ），F（0，0， ），
设平面AEF的法向量为 =（x，y，z），
则 ，取x= ，得 =（ ），
∵PC⊥平面ADE，∴平面ADE的一个法向量是 =（0，1，﹣ ），
设二面角D﹣AE﹣F的平面角为θ，
cosθ= = ，
∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出PD⊥AD，AD⊥PC，AE⊥PC，从而PC⊥平面ADE，由此能证明平面ADE⊥平面PBC．（Ⅱ）以DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣F的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．