【题目】已知椭圆的长轴长为4,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线的斜率为,且与椭圆相交于,两点(异于点),过作的角平分线交椭圆于另一点.
(i)证明:直线与坐标轴平行;
(ii)当时,求四边形的面积
【答案】(1);(2)(i)见解析,(ii)
【解析】
(1)根据题意,将点代入椭圆方程即可求解.
(2)(i)利用分析法,只需证直线的方程为或,只需证,斜率都存在,且满足即可,设直线:,,,将直线与椭圆联立,消,利用韦达定理求出即可证出;(ii)可知直线和的倾斜角应该分别为,,即斜率分别为1和-1,不妨令,,求出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,同理求出点,再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)解:,将代入椭圆方程,得,
解得,故椭圆的方程为.
(2)(i)证明:∵平分,欲证与坐标轴平行,
即证明直线的方程为或,
只需证,斜率都存在,且满足即可.
当或斜率不存在时,即点或点为,
经检验,此时直线与椭圆相切,不满足题意,故,斜率都存在.
设直线:,,,
联立,
,∴,
由韦达定理得,,
,
,得证.
(ii)解:若,即,
则可知直线和的倾斜角应该分别为,,
即斜率分别为1和-1,不妨就令,,
则:,即,
,
已知是其一个解,故,∴,∴,
同理,可得,
,
因为,故的方程只能是.
设直线的倾斜角为,与所成角为,故,
而,故,∴,
又,故.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
人数(单位:千人) | 2082 | 2135 | 2203 | 2276 | 2339 | 2385 |
(1)根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大?并描述该地人口数量的变化趋势;
(2)研究人员用函数拟合该地的人口数量,其中的单位是年,2014年年初对应时刻,的单位是千人,经计算可得,请解释的实际意义.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列有关命题的说法正确的是___(请填写所有正确的命题序号).
①命题“若,则”的否命题为:“若,则”;
②命题“若,则”的逆否命题为真命题;
③条件,条件,则是的充分不必要条件;
④已知时,,若是锐角三角形,则.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将所得曲线C向右平移1个单位长度,再将曲线C上的所有点的横坐标变为原来的2倍,得到曲线,求曲线上的点到直线l的距离的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某区在2019年教师招聘考试中,参加、、、四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下:
岗位 | 男性应聘人数 | 男性录用人数 | 男性录用比例 | 女性应聘人数 | 女性录用人数 | 女性录用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
总计 | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人,试估计此人被录用的概率;
(2)将应聘岗位的男性教师记为,女性教师记为,现从应聘岗位的6人中随机抽取2人.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人性别不同”,求事件发生的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为6的等边三角形,D,E分别为AA1,BC的中点.
(1)证明:AE//平面BDC1;
(2)若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为.求DE与平面BDC1所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(1)直线在矩阵所对应的变换下得到直线,求的方程.
(2)已知点是曲线(为参数,)上一点,为坐标原点直线的倾斜角为,求点的坐标.
(3)求不等式的解集.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com