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【题目】已知椭圆的长轴长为4,且经过点.

1)求椭圆的方程;

2)直线的斜率为,且与椭圆相交于两点(异于点),过的角平分线交椭圆于另一点.

i)证明:直线与坐标轴平行;

ii)当时,求四边形的面积

【答案】1;(2)(i)见解析,(ii

【解析】

1)根据题意,将点代入椭圆方程即可求解.

2)(i)利用分析法,只需证直线的方程为,只需证斜率都存在,且满足即可,设直线,将直线与椭圆联立,消,利用韦达定理求出即可证出;(ii)可知直线的倾斜角应该分别为,即斜率分别为1-1,不妨令,求出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,同理求出点,再利用三角形的面积公式即可求解.

1)解:,将代入椭圆方程,得

解得,故椭圆的方程为.

2)(i)证明:∵平分,欲证与坐标轴平行,

即证明直线的方程为

只需证斜率都存在,且满足即可.

斜率不存在时,即点或点

经检验,此时直线与椭圆相切,不满足题意,故斜率都存在.

设直线

联立

,∴

由韦达定理得

,得证.

ii)解:若,即

则可知直线的倾斜角应该分别为

即斜率分别为1-1,不妨就令

,即

已知是其一个解,故,∴,∴

同理,可得

因为,故的方程只能是.

设直线的倾斜角为,与所成角为,故

,故,∴

,故.

练习册系列答案
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年份

2014

2015

2016

2017

2018

2019

人数(单位:千人)

2082

2135

2203

2276

2339

2385

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1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;

2)将所得曲线C向右平移1个单位长度,再将曲线C上的所有点的横坐标变为原来的2倍,得到曲线,求曲线上的点到直线l的距离的最大值.

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【题目】某区在2019年教师招聘考试中,参加四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下:

岗位

男性应聘人数

男性录用人数

男性录用比例

女性应聘人数

女性录用人数

女性录用比例

269

167

62%

40

24

60%

217

69

32%

386

121

31%

44

26

59%

38

22

58%

3

2

67%

3

2

67%

总计

533

264

50%

467

169

36%

1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人,试估计此人被录用的概率;

2)将应聘岗位的男性教师记为,女性教师记为,现从应聘岗位的6人中随机抽取2.

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