Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求△OAB的面积；
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x，y），M（x，y），利用中点坐标公式得，最后根据抛物线方程消去参数x，y，即得线段AF中点M的轨迹方程．
（2）先利用直线AB的方向向量，求出直线的斜率，得出直线方程；再与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．直线AB的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，证出k₁+k₂=2k₃即可证得k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
解答：解：（1）设A（x，y），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意，即…2分
所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，，直线，…5分
由得，y²-y-1=0，…7分
，…8分
…9分
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．
点A、B、M的坐标为．
设直线AB：，代入抛物线得，…11分
所以，…12分
又，，
因而，
因而…14分
而2，故k₁+k₂=2k₃．…16分．
点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．