Question

在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

cosC

cosB

=

3a-c

b

，又b=

3

，则△ABC的面积的最大值

3 2

4

．

Answer 1

分析：利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由b及cosB的值，利用余弦定理表示出关于a与c的关系式，根据基本不等式及等式的性质得到ac的最大值，由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：根据正弦定理得：

3sinA-sinC

sinB

=

3a-c

b

，
又

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

，又B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵b=

3

，cosB=

1

3

，
∴根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-

2

3

ac，
又a²+c²≥2ac，即3+

2

3

ac≥2ac，
∴ac≤

9

4

，即ac的最大值为

9

4

，
则△ABC的面积的最大值S=

1

2

acsinB=

1

2

×

9

4

×

2 2

3

=

3 2

4

．
故答案为：

3 2

4

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．