Question

椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若经过点F₁且与x轴、y轴不平行的直线与该椭圆交于A、B两点，则下列结论错误的是________（把你认为错误的结论序号都写上）．
①|AB|的取值范围是[，2a）；
②以AF₁为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切；
③如果∠F₁AF₂的平分线与F₁F₂交于M点，则椭圆的离心率等于；
④△ABF₂的面积最大值是a．

Answer 1

①④
分析：根据椭圆的几何性质，可得直线AB绕F₁点旋转时，|AB|最小值为且最大值为2a，由此可得①是错误的；根据圆与圆的位置关系判断，结合椭圆的定义和三角形中位线定理，可得以AF₁为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切，故②正确；根据三角形内角平分线定理，结合比例的性质和椭圆离心率公式，可得③正确；根据椭圆的几何性质求得△ABF₂的面积最大值不是a，得④错误．由此可得本题的正确答案．
解答：对于①，将直线AB绕F₁点旋转，根据椭圆的几何性质，得
当AB与长轴垂直时，|AB|取到最小值，设此时A（-c，n），
则+=1，解之得n=（舍负）
因此，|AB|=2n=，而当AB与椭圆的长轴重合时，|AB|最大值为2a，
由此可得|AB|的取值范围是[，2a]，故①是错误的；
对于②，设AF₁的中点为N，则以AF₁为直径的圆以N为圆心
根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a，所以|AF₂|=2a-|AF₁|，
可得|ON|=|AF₂|=a-|NF₁|，
而以长轴为直径的圆的圆心为O，说明两圆的圆心距恰好等于半径之差，
因此以AF₁为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切，故②正确；
对于③，因为AM平分∠F₁AF₂，所以根据三角形的平分线定理，得
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∴椭圆的离心率e=，故③正确；
对于④，将直线AB绕F₁点旋转，根据椭圆的几何性质，得
当AB与长轴垂直时，△ABF₂的面积达到最大值
因此，△ABF₂的面积最大值为S_max=××2c=≠a
故△ABF₂的面积最大值不是a，得到④是错误的．
综上所述，只有①④是错误的
故答案为：①④
点评：本题给出关于椭圆的几个命题，要我们找出其中的假命题，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系、圆一圆的位置关系和三角形面积的最值等知识，属于中档题．