Question

3．计算：
（1）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）×$\root{3}{a}$；
（2）（x+$\frac{1}{x}$）²-[（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{1-（\frac{1}{x}+x）}$]²÷$\frac{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-x-\frac{1}{x}+3}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2x+\frac{2}{x}+3}$．

Answer 1

分析 （1）利用立方差公式化简$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）×$\root{3}{a}$=$\root{3}{a}$•$\frac{a-8b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$×$\frac{\root{3}{a}}{\root{3}{a}-2\root{3}{b}}$×$\root{3}{a}$=a；
（2）化简（x+$\frac{1}{x}$）²-[（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{1-（\frac{1}{x}+x）}$]²÷$\frac{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-x-\frac{1}{x}+3}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2x+\frac{2}{x}+3}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-[（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{1-（\frac{1}{x}+x）}$]²÷$\frac{（x+\frac{1}{x}）^{2}-（x+\frac{1}{x}）+1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-2（x+\frac{1}{x}）+1}$，换元令x+$\frac{1}{x}$=u，从而化简即可．

解答 解：（1）$\frac{{a}^{\frac{4}{3}}-8{a}^{\frac{1}{3}}b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）×$\root{3}{a}$
=$\root{3}{a}$•$\frac{a-8b}{{a}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{ab}+4{b}^{\frac{2}{3}}}$×$\frac{\root{3}{a}}{\root{3}{a}-2\root{3}{b}}$×$\root{3}{a}$
=a；
（2）（x+$\frac{1}{x}$）²-[（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{1-（\frac{1}{x}+x）}$]²÷$\frac{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-x-\frac{1}{x}+3}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2x+\frac{2}{x}+3}$
=（x+$\frac{1}{x}$）²-[（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{1-（\frac{1}{x}+x）}$]²÷$\frac{（x+\frac{1}{x}）^{2}-（x+\frac{1}{x}）+1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-2（x+\frac{1}{x}）+1}$
令x+$\frac{1}{x}$=u，
则原式=u²-（u-$\frac{1}{1-u}$）²×$\frac{（u-1）^{2}}{{u}^{2}-u+1}$
=u²-$\frac{（{u}^{2}-u+1）^{2}}{（u-1）^{2}}$×$\frac{（u-1）^{2}}{{u}^{2}-u+1}$
=u²-（u²-u+1）
=u-1=x+$\frac{1}{x}$-1．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及换元法的应用．