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13.在平面直角坐标系xOy中,已知点Q(1,2),P是动点,且△POQ的三边所在直线的斜率满足$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点F(1,0)作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△AOB的面积.

分析 (1)由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$,得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$,即可求点P的轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),过F倾斜角为60°的直线L:y=$\sqrt{3}$(x-1),与抛物线方程联立得:y2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0,利用韦达定理,即可求△AOB的面积.

解答 解:(1)设点P的坐标为P(x,y),则kOP=$\frac{y}{x}$,kOQ=2,kPQ=$\frac{y-2}{x-1}$,
由$\frac{1}{{k}_{op}}$+$\frac{1}{{k}_{OQ}}$=$\frac{1}{{k}_{PQ}}$,得$\frac{x}{y}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{y-2}$.
整理得点P的轨迹的方程为:y2=4x(y≠0,y≠2);
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),过F倾斜角为60°的直线L:y=$\sqrt{3}$(x-1),
与抛物线方程联立得:y2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y-4=0,则y1+y2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,y1y2=-4,
∴S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{\frac{16}{3}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查斜率的计算,考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.

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