Question

已知连续函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根
B．至多有一实根
C．没有实根
D．必有唯一的实根

Answer 1

【答案】分析：由函数的单调性，我们易得函数的图象与直线y=a至多有一个交点，再根据零点存在定理，我们易得到连续函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，再根据函数零点与对应方程根的个数关系，我们即可得到结论．
解答：解：∵f（a）f（b）＜0
∴连续函数在区间[a，b]上至少有一个零点
又∵函数f（x）在区间[a，b]上单调
∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点
故连续函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点
即方程f（x）=0在区间[a，b]内必有唯一的实根
故选D
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中利用函数零点个数与对应方程根的个数相等，将问题转化一个求函数零点个数问题是解答本题的关键．