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     (2009陕西卷理)（本小题满分12分）

    已知双曲线C的方程为

    离心率顶点到渐近线的距离为

    （Ⅰ）求双曲线C的方程；

    （Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.

    解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

    ∴

    由 得 ∴双曲线C的方程为

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

    设

    由得P点的坐标为

    将P点坐标代入化简得

    设∠AOB

    又

    记

    由

    当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是

    解答二（Ⅰ）同解答一

          （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知

           由{ 得A点的坐标为

           由{ 得B点的坐标为

           由得P点的坐标为 

           将P点坐标代入

    设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

         =以下同解答一.

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    已知数列满足， .

    猜想数列的单调性，并证明你的结论；

    (Ⅱ)证明：。   

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      已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.

    (Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.    

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          已知数列满足， .

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    (Ⅱ)证明：。   

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