Question

11．已知数列{x_n}满足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=a（a≤1且a≠0），则数列{x_n}的前2 016项的和S₂₀₁₆为1344．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系得数列是以3为周期的周期数列，且x₁+x₂+x₃=1+1-a+a=2，由此能求出S₂₀₁₆．

解答 解：∵数列{x_n}满足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
∴x₃=|a-1|=1-a，x₄=x₁=1，
∴数列是以3为周期的周期数列，
并且x₁+x₂+x₃=1+1-a+a=2，
则S₂₀₁₆=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₆=672（x₁+x₂+x₃）=672×2=1344．
故答案为：1344

点评 本题考查数列的前n项和的求法，根据数列的递推关系得到数列是周期数列是解决本题的关键．