Question

如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；
（Ⅱ）若时，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）取BD中点Q，证得Q与O重合。则面PBD
（2）

试题分析：（1）取BD中点Q，则三点共线，即Q与O重合。
则面PBD
（2）因为AC面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），所以PO与平面ABCD所成的角。以O为坐标原点，OA为轴，OB为轴建空间直角坐标系。，因为AC面PBD，所以面PBD的法向量，设面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得
 ②， 在①②中令，可得，则
所以二面角的余弦值
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，将立体问题转化成平面问题，是解决立体几何问题的一个基本思路。通过就落实党的坐标系，利用空间向量，免去了繁琐的逻辑推理过程，对计算能力要求较高。