Question

过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：设A（a，0）、B（0，b）．得到直线AB，由题知MA⊥MB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1，得到a与b的关系式；又因为四边形OAMB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式，两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程．

解答：解：由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵MA⊥MB，∴

4-0

2-a

×

4-b

2-0

=-1，化简得a=10-2b．
∵a＞0，∴0＜b＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点M（2，4）到直线AB的距离为d₁=

|2b+4a-ab|

a2+b2

．
又∵O点到直线AB的距离为d₂=

|-ab|

a2+b2

，∵四边形OAMB的面积被直线AB平分，
∴d₁=d₂，∴2b+4a-ab=±ab．
又∵a=10-2b．
解得

a=2 b=4

或

a=5 b= 5 2

，
∴所求直线为2x+y-4=0或x+2y-5=0．

点评：考查学生理解两直线垂直时条件的能力，灵活运用点到直线距离公式的能力，能写出直线的一般式．