Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（1）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，

∴a=﹣1

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，

（2）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，

∴﹣x∈[e﹣1，e2]，

∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，

①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，

∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减，

∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，

综上：

【解析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）先研究f（x）在区间[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．