Question

定义在R上的函数y=f（x），对任意不等的实数x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若不等式f(

x

2

-2x)+f(2y-

y

2

)≤0成立，则当1≤x＜4时，

y

x

的取值范围是（　　）

• A、(-

  1

  2

  ，1]
• B、（-∞，1]
• C、[-

  1

  2

  ，1]
• D、[-

  1

  2

  ，∞)

Answer 1

分析：依题意知，y=f（x）为R上的减函数，且为奇函数，于是由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0⇒x²-2x≥y²-2y⇒（x-y）（x+y-2）≥0，利用线性规划的知识即可求得当1≤x＜4时，

y

x

的取值范围．

解答：解：∵函数y=f（x），对任意不等的实数x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，
∴y=f（x）为R上的减函数；
又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴函数y=f（x）为奇函数；
又f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，
∴x²-2x≥y²-2y，
（x-y）（x+y-2）≥0，
∴

x-y≥0 x-y-2≥0

或

x-y≤0 x-y-2≤0

，
令k=

y

x

=

y-0

x-0

，作出线性区域图如下（两直线x-y=0与x+y-2=0相交的左右区域）：

当x=1时，y=1，直线x-y=0上的点M（1，1），此时k_max=k_OM=

1-0

1-0

=1，
当x=4时，y=2-4=-2，直线x+y-2=0上的点P（4，-2），此时k=

-2-0

4-0

=-

1

2

，
∵1≤x＜4，
∴-

1

2

＜k≤1，
故选：A．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，突出考查线性规划，考查等价转化思想与数形结合思想，属于难题．