Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中点，MA₁⊥AC．
（1）求证：MA₁⊥平面ABC；
（2）求点M到平面AA₁C₁C的距离．

Answer 1

分析：（1）证明A₁M⊥AB，A₁M⊥AC，利用线面垂直的判定，可得A₁M⊥平面ABC；
（2）作ME⊥AC于E，连接A₁E，作MO⊥A₁E于O，证明MO⊥面A₁ACC₁，于是MO即为所求．

解答：（1）证明：∵侧面ABB₁A₁是菱形，且∠A₁AB=60°，∴△A₁AB为正三角形．
又∵点M为AB的中点，∴A₁M⊥AB，
由已知A₁M⊥AC，∴A₁M⊥平面ABC．（4分）
（2）解：作ME⊥AC于E，连接A₁E，作MO⊥A₁E于O，
由已知A₁M⊥AC，又∵ME⊥AC，∴AC⊥面A₁ME，由MO?面A₁ME，得AC⊥MO，
∵MO⊥A₁E，且A₁E?面A₁ACC₁，A₁E∩AC=E，∴MO⊥面A₁ACC₁，
于是MO即为所求，（8分）
∵菱形ABB₁A₁边长为2，∴ME=

3

2

，A1M=

3

，A1E=

15

2

，
∴MO=

15

5

．（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查点到面的距离的计算，正确运用线面垂直的判定是关键．