Question

【题目】设函数 （b≠0）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点；
（3）令b=1， ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3）是曲线y=g（x）上相异三点，其中﹣1＜x1＜x2＜x3 ． 求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵函数f（x）在定义域上是单调函数，

∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．

若f'（x）≥0恒成立，得 ．

若f'（x）≤0恒成立，即 恒成立．

∵ 在（﹣1，+∞）上没有最小值，

∴不存在实数b使f'（x）≤0恒成立．

综上所述，实数b的取值范围是 ．

（2）由（1）知当 时，函数f（x）无极值点．

当 时，f（x）=0有两个不同解， ， ，

∵b＜0时， ， ，

即x1（﹣1，+∞），x2∈（﹣1，+∞），

∴b＜0时，f（x）在（﹣1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，f（x）有唯一极小值点 ；

当 时， ．

∴x1，x2∈（﹣1，+∞），f（x）=0在（﹣1，x1）上递增，在（x1，x2）递减，

在（x2，+∞）递增，f（x）有一个极大值点 和一个极小值点 ．

综上所述，b＜0时，f（x）有唯一极小值点 ，

时，f（x）有一个极大值点 和一个极小值点 ；

时，f（x）无极值点．

（3）先证： ，即证 ，

即证 = ，

令 （t＞1）， ， ，

所以 在（1，+∞）上单调递增，

即p（t）＞p（1）=0，即有 ，所以获证．

同理可证： ，

所以 ．

【解析】（1）对函数f（x）进行求导，要使得函数f（x）在定义域上是单调函数，只需要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，进行参变分离分类讨论得出实数b的取值范围，（2）当b ≥ 时，函数f（x）无极值点，当b＜时，利用求根公式可得到f'（x）=0有两个不同解，且当b＜0时，可判断出x1（﹣1，+∞），x2∈（﹣1，+∞），此时可得到极值点，当 0 < b < 时，x1，x2∈（﹣1，+∞），可得到此时f（x）的单调区间及极值点，（3）先证： > g ' ( x 2 ) ，即证> 1 +,令=t（t＞1） ，构造函数p（t）=lnt+-1，通过求导可得出 p（t）＞p（1）=0，即有 l n t + 1 > 0 ，所以获证，同理可证：＜ g ' ( x 2 )，从而结论得证.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．