Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．

Answer 1

（1）证明：由绝对值不等式知，
ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x₁|+|x₂-x|+|y-y₁|+|y₂-y
≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=ρ（A，B）
当且仅当（x-x₁）•（x₂-x）≥0，且（y-y₁）•（y₂-y）≥0时等号成立．
（2）由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得
（x-x₁）•（x₂-x）≥0且（y-y₁）•（y₂-y）≥0  （Ⅰ）
由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x₁|+|y-y₁|=|x₂-x|+|y₂-y|（Ⅱ）
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是不同的两点，则：1°若x₁=x₂且y₁≠y₂，
不妨设y₁＜y₂，由（Ⅰ）得x=x₁=x₂，且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得y=

y1+y2

2

，
此时，点C是线段AB的中点，即只有点C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)满足条件；
2°若x₁≠x₂且y₁=y₂，
同理可得：只有AB的中点C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)满足条件；
3°若x₁≠x₂且y₁≠y₂，不妨设x₁＜x₂且y₁＜y₂，
由（Ⅰ）得x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

，
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
斜率为-1的直线x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

夹在矩形AA₁BB₁之间的部分，
其中A（x₁，y₁），A₁（x₂，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₁，y₂）．