Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，在区间[-2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，，当x∈[-2，2]且x≠0时，求F（x）的值域．

Answer 1

解：（1）当a=0时，f（x）=bx+1，当f（-1）=0，即-b+1=0时，f（x）=x+1，不符合题意．
所以a≠0．
∵f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴点（-1，0）为抛物线的顶点且开口向上．
∴解得
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1
依题意有：
∴k≤-2或k≥6
（3）在[-2，0）上，F（x）=-x²-2x-1=-（x+1）²∈[-1，0]
在（0，2]上，F（x）=（x+1）²∈（1，9]
∴F（x）值域为[-1，0]∪（1，9]．
分析：（1）讨论a=0的情况，然后根据f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，建立方程组，解之即可；
（2）根据二次函数的单调性建立不等关系，即对称轴不在区间[-2，2]上，解之即可求出k的取值范围；
（3）分别求出每一段函数的值域，最后求并集即可求出F（x）的值域．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题以及函数解析式、单调性和值域等有关问题，属于中档题．