Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．

由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，

由 = ，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．

∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；

（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，

∴|PM|2=|PC|2﹣r2．

又∵|PM|=|PO|，

∴|PC|2﹣r2=|PO|2，

∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．

∴2x﹣4y+3=0即为所求

【解析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2 ， 表示出|PM|2 ， 由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2 ， 由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2 ， 两者相等，化简可得点P的轨迹方程．