Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2012^x+，则在R上，函数f（x）零点的个数为________．

Answer 1

3
分析：由题意先画出当x＞0时，函数f₁（x）=2012^x，f₂（x）=-log₂₀₁₂x的图象，由图象求出方程根的个数；再根据奇函数图象的对称性以及f（0）=0，求出方程所有根的个数．
解答：当x＞0时，令f（x）=0得，即2012^x=-log₂₀₁₂x，
在同一坐标系下分别画出函数f₁（x）=2012^x，f₂（x）=-log₂₀₁₂x的图象，
如下图可知，两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0只有一个实根．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，
又由奇函数的性质可得f（0）=0，
∴方程f（x）=0的实根的个数为3，
故答案为：3．
点评：本题的考点是奇（偶）函数图象的性质应用，即根据题意画出一部分函数的图象，由交点的个数求出对应方程根的个数，利用图象的对称性和“f（0）=0”求出方程根的个数，易漏f（0）=0，属于中档题．