Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0 y≥0 y≤-2n(x-3)

（n∈N^*）表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为a_n．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值（不要求写过程）；
（2）证明数列{a_n}为等差数列；
（3）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（1）由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，从而可得结论；
（2）由于平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，可得直线y=-2n（x-3）与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y₁=4n和y₂=2n，从而D_n内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1，由此可数列的通项，进而可得数列{a_n}是等差数列；
（3）利用裂项法可求数列的和．

解答：（1）解：根据题意，由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，从而可得a₁=9，a₂=15，a₃=21                    …（3分）
（2）证明：由于平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，…（5分）
∴直线y=-2n（x-3）与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y₁=4n和y₂=2n…（6分）
∴D_n内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1，
∴a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3              …（7分）
∴a_n+1-a_n=（6n+0）-（6n+3）=6                 …（8分）
∴数列{a_n}是以9为首项，6为公差等差数列..…（9分）
（3）解：∵b_n=

1

anan+1

=

1

6

[

1

6n+3

-

1

6(n+1)+3

]                …（10分）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

6

[(

1

6×1+3

-

1

6×2+3

)+（

1

6×2+3

-

1

6×3+3

）+…+

1

6n+3

-

1

6(n+1)+3

]
=

1

6

(

1

9

-

1

6n+9

)=

n

27(2n+3)

 …（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力．