Question

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²种，再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A₅⁵种投放法
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号 全相同只有1种．减去即可．
（3）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五个球的编号与盒子编号全不同的放法．

解答：解：首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C₅²=10种，
再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A₅⁵=120种投放法．
∴共计10×120=1200种方法
（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A₅⁵种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有   A₅⁵-1=119种．        
（3）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!(

1

2!

-

1

3!

+

1

4!

-

1

5!

)=44
∴满足条件的放法数为：
A₅⁵-45-44=31（种）．

点评：本题（1）解题的关键是把两个球先看成一个球，把没要球的地方也堪称一个球，再排列得到结果，（2）（3）用间接法求解便捷．