Question

5．已知f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，则a的取值范围是a＜0或1＜a≤4．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，结合f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，则f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上恒有意义，可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：①当a＜0时，
2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，且恒为正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，满足条件；
②当a=0时，f（x）=-$\sqrt{2}$为常数函数，在[0，$\frac{1}{2}$]上不是减函数，不满足条件；
③当0＜a＜1时，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，且恒为正，
a-1＜0，故f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，不满足条件；
④当a=1时，函数解析式无意义，不满足条件；
⑤当0＜a＜1时，2-ax在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，
a-1＞0，若f（x）=$\frac{\sqrt{2-ax}}{a-1}$在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，
则2-ax≥0恒成立，即a≤4，故1＜a≤4；
综上可得：a＜0或1＜a≤4，
故答案为：a＜0或1＜a≤4

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．