Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）为R上的减函数；
（3）若对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出即可；
（2）设x₁＜x₂，依据奇函数的定义只需利用作差证明f（x₁）＞f（x₂）；
（3）利用函数的奇偶性、单调性把该不等式转化为具体不等式，然后转化为求函数的最值问题，利用二次函数的性质易求其最大值．

解答：解：（1）由f（0）=0得b=1，由f（-1）=-f（1）得a=2．
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+2

；
（2）设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

-2x1+1

2x1+1+2

-

-2x2+1

2x2+1+2

=(

1

2x1+1

-

1

2

)-(

1

2x2+1

-

1

2

)
=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）由函数f（x）为奇函数，得f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0?f（2k-4^t）＜f（k+1-3•2^t），
∵f（x）为R上的减函数，
∴2k-4^t＞k+1-3•2^t，
∴k＞4t-3•2t+1=(2t-

3

2

)2-

5

4

，
对任意的t∈[-1，1]，不等式f（2k-4^t）+f（3•2^t-k-1）＜0恒成立，等价于k＞(2t-

3

2

)2-

5

4

的最大值，
∵t∈[-1，1]，∴2t∈[

1

2

，2]，
∴当2t=

1

2

时，4t-3•2t+1=(2t-

3

2

)2-

5

4

的最大值为-

1

4

，
∴k＞-

1

4

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题及二次函数在闭区间上的最值，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题加以解决．