Question

【题目】如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（1）证明：AG∥平面BDE．
（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC

CE⊥BC，CE平面BCEG，

∴EC⊥平面ABCD，

以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，

B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），

设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），

=（0，2，﹣2）， =（2，0，﹣2），

∴ ，取x=1，得 =（1，1，1），

∵ =（﹣2，1，1），∴ =0，∴ ⊥ ，

∵AG平面BDE，∴AG∥平面BDE

（2）解：设平面ADE的法向量 =（a，b，c），

=（0，1，0）， =（﹣2，0，2），

则 ，取x=1，得 =（1，0，1），

由（1）得平面BDE的法向量为 =（1，1，1），

设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．