Question

如图，已知抛物线E：y²=x与圆M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y²=x与圆M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）将抛物线E：y²=x代入圆M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）的方程，
消去y²，整理得x²-7x+16-r²=0（1）
抛物线E：y²=x与圆M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴

49-4(16-r2)＞0 x1+x2=7＞0 x1•x2=16-r2＞0

即

r＜- 15 2 或r＞ 15 2 -4＜r＜4

．
解这个方程组得

15

2

＜r＜4，r∈(

15

2

，4)．

（II）设四个交点的坐标分别为
A(x1，

x1

)、B(x1，-

x1

)、C(x2，-

x2

)、D(x2，

x2

)．
则由（I）根据韦达定理有x₁+x₂=7，x₁x₂=16-r²，r∈(

15

2

，4)
则S=

1

2

•2•|x2-x1|(

x1

+

x2

)=|x2-x1|(

x1

+

x2

)
∴S2=[(x1+x2)2-4x1x2](x1+x2+2

x1x2

)=(7+2

16-r2

)(4r2-15)
令

16-r2

=t，
则S²=（7+2t）²（7-2t）下面求S²的最大值．
由三次均值有：S2=(7+2t)2(7-2t)=

1

2

(7+2t)(7+2t)(14-4t)≤

1

2

(

7+2t+7+2t+14-4t

3

)3=

1

2

•(

28

3

)3
当且仅当7+2t=14-4t，即t=

7

6

时取最大值．
经检验此时r∈(

15

2

，4)满足题意．
故所求的点P的坐标为(

7

6

，0)．

点评：本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．