Question

(2007·广东)设，是(a，b∈R，a＞0)的两个极值点，f(x)的导函数是．

(1)如果，求证：；

(2)如果，，求b的取值范围；

(3)如果a≥2，且，x∈(，)时，函数的最小值为h(a)，求h(a)的最大值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1),，是方程的两个根． 由且a＞0得 ①×(－3)＋②得4a－2b＞0． ∴ (2)由第(1)问知 由，两式相除得 即． ①当 时，由， ∴，即． ∴，∈(0，2)． 令函数，∵x＞0，则， ∴φ(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴当∈(0，2)时，，即． ②当时，∴，即． ∴，∈(－2，0)． 令函数，若x＜0则同理可证φ(x)在(－∞，0)上是增函数． ∴当∈(－2，0)时，． 综①②所述，b的取值范围是． (3)∵的两个根是，， ∴可设． ∴ ∴． 令，∵a≥2，∴． 由题意知时，g(x)取最小值 ∴ ∴． 令， ∴． ∴． 由题意知a=2时，h(a)取最大值且等于．