Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE=2EB=2．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE= ，
过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB= 得DF∥AC， ，故AC= DF= ，
以C为原点，分别以 ， ， 的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），P（0，0，3），A（ ，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴ =（1，﹣1，0）， =（﹣1，﹣1，3）， =（ ，﹣1，0），
设平面PAD的法向量 =（x，y，z），由 ，
故可取 =（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量 可取 =（1，﹣1，0），
∴两法向量夹角的余弦值cos＜ ， ＞= =
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以 ， ， 的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得 ， ， 的坐标，可求平面PAD的法向量 ，平面PCD的法向量 可取 ，由向量的夹角公式可得．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．