Question

（2007•南通模拟）已知集合A={（x，y）||x|+|y|=2；x，y∈R}，B={（x，y）||xy|=a；x，y∈R}，若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数a的值为

2

2

-2

．

Answer 1

分析：去绝对值讨论集合A，由A和B作出对应的图象，找出两图象在第一象限内的两个交点，结合对称性，由正八边形的边长相等列式求出两图象在第一象限内的交点的坐标，代入|xy|=a求解a的值．

解答：解：由|x|+|y|=2，得

x+y=2 (x≥0，y≥0) x-y=2 (x≥0，y＜0) -x+y=2 (x＜0，y≥0) -x-y=2 (x＜0，y＜0)

∴集合A={（x，y）||x|+|y|=2；x，y∈R}对应的图形如图：

设集合A和集合B={（x，y）||xy|=a，x，y∈R}在第一象限的交点为P，Q．
不妨设P靠近x轴，P点坐标为（x，y）（x＞y＞0），
由对称性可知，Q点的坐标为（y，x）．
∴正八边形的边长为PE=PF=

2

PQ，即2y=

2

（x-y） ①．
又x+y=2  ②．
联立①②解得：x=

2

，y=2-

2

．
∴a=|

2

(2-

2

)|=2

2

-2．
故答案为：2

2

-2．

点评：本题考查了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考查了两集合的交集，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．