Question

函数，其中为实常数。
（1）讨论的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，设，。是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为；（2）；（3）存在，如等，证明见详解．

试题分析：（1）首先求导函数，然后对参数进行分类讨论的单调性；（2）根据函数的解析式可将问题转化为的最大值，再利用导数研究函数单调性来确定其最值；（3）假设存在，将问题转化为证明：及成立，然后可考虑综合法与分析法进行证明．
试题解析：（1）定义域为，
①当时，，在定义域上单增；
②当时，当时，，单增；当时，，单减．
增区间：，减区间：．
综上可知：当时，增区间，无减区间；当时，增区间：，减区间：．
（2）对任意恒成立
，令，
，在上单增，
，，故的取值范围为．
（3）存在，如等．下面证明：
及成立．
①先证，注意，
这只要证（*）即可，
容易证明对恒成立(这里证略)，取即可得上式成立．
让分别代入（*）式再相加即证：，
于是．
②再证，
法一：
，
只须证，构造证明函数不等式：，
令，，
当时，在上单调递减，
又当时，恒有，即恒成立．
，取，则有，
让分别代入上式再相加即证：
，
即证．
法二：，
，
又故不等式成立．
（注意：此题也可用数学归纳法！）．