Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解出

a=2 b= 3

即可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求出关于点M、N坐标之间的等式，再代入AM⊥AN对应的等式即可求出m和k之间的关系，进而证得直线l过定点，并求出定点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则

2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2

解得

a=2 b= 3

∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由方程组

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．（6分）
由题意△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0①（7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．（8分）
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．　　　　（10分）
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
也即(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0．
解得m=-2k或m=-

2k

7

，均满足①（11分）
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去；
当m=-

2k

7

时，直线l的方程为y=k(x-

2

7

)，过定点(

2

7

，0)，
故直线l过定点，且定点的坐标为(

2

7

，0)．（13分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线过定点等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，特殊与一般思想．