Question

13．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）求函数的值域；
（4）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m一2）t）+f（t²-m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义可得f（-1）=-f（1），解方程可得a=2，再由定义检验即可得到；
（2）f（x）在R上为增函数；运用单调性的定义，注意设值，作差，变形和定符号、下结论；
（3）运用指数函数的值域，以及不等式的性质，即可得到所求值域；
（4）由奇函数和单调性的性质可得，t²-（m一2）t＞-t²+m-1，即为2t²-（m-2）t+1-m＞0，由判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）定义域为R的函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{a+{2}^{x+1}}$是奇函数，
可得f（-1）=-f（1），即有$\frac{{2}^{-1}-1}{a+1}$=-$\frac{2-1}{a+4}$，
解方程可得a=2，
即f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
即有f（x）为奇函数．
故a=2；
（2）f（x）在R上为增函数；
证明：由f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，设m＜n，
f（m）-f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{m}+1}$=$\frac{{2}^{m}-{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{m}+1）}$，
由m＜n，可得0＜2^m＜2ⁿ，即为2^m-2ⁿ＜0，
则f（m）＜f（n），即f（x）在R上递增；
（3）由f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，2^x＞0，1+2^x＞1，
即有0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，则-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
则f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（4）任意的t∈R，不等式f（t²-（m一2）t）+f（t²-m+1）＞0恒成立，
即有f（t²-（m一2）t）＞-f（t²-m+1）=f（-t²+m-1），
由f（x）在R上递增，可得t²-（m一2）t＞-t²+m-1，
即为2t²-（m-2）t+1-m＞0，
由题意对t为一切实数恒成立，可得△＜0，
即为（m-2）²-8（1-m）＜0，解得
-2-2$\sqrt{2}$＜m＜-2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的运用和单调性的运用，同时考查函数的值域求法，注意指数函数的值域的运用，同时考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．