Question

是否存在一个等比数列{a_n},使其满足下列三个条件:
(1)a₁+a₆=11且a₃a₄=;
(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*);
(3)至少存在一个m(m∈N^*,m＞4),使a_m-1,,a_m+1+依次成等差数列.
若存在,写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.

Answer 1

∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.

假设存在这样的数列{a_n}.
∵a₁+a₆=11,a₁a₆=a₃ a₄=,
∴a₁、a₆是方程x²-11x+=0的两根,解得x₁=,x₂=.
∵a_n+1＞a_n(n∈N^*),∴a₁=,a₆=.
设公比为q,则a₆==q⁵,于是q=2.
∴a_n=×2^n-1.
由a_m-1,,a_m+1+依次成等差数列,得2=a_m-1+a_m+1+,
即2×(×2^m-1)²=××2^m-2+×2^m+.
解得m=3.
又∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.