Question

已知函数f（x）=x³-2ax²+x
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求实数a的最大值；
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-4ax+1，
∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即（x＞1）恒成立．
令h（x）=，得（x＞1），
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）==1，
∴a≤1，故实数a的最大值为1．
（Ⅱ）由题意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a（x＞0）恒成立，
令r（x）=（x＞0），则，由r′（x）＜0得0＜x；由r′（x）＞0得x，
∴r（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增，∴=．
∴a≤，
故a的取值范围为．
分析：（1）由函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，得f′（x）≥0（x＞1）恒成立，进而可转化为函数最值问题解决．
（2）f（x）≥ax即x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，可变为a（x＞0）恒成立，只需y求出在（0，+∞）上的最小值即可．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，对于恒成立问题常转化为最值问题或分离参数后再求最值．