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10、f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(  )
分析:奇函数的图象关于原点对称;当a≠0时af(x)与f(x)有相同的奇偶性;f(x)+b的图象可由f(x)上下平移得到.
充分利用以上知识点逐项分析即可解答.
解答:解:①若a=-1,b=1,则函数g(x)不是奇函数,其图象不可能关于原点对称,所以选项A错误;
②当a=-1,-2<b<0时,-f(x)仍是奇函数,2仍是它的一个零点,但单调性与f(x)相反,若再加b,则图象又向下平移-b个单位长度,所以g(x)=-f(x)+b=0有大于2的实根,所以选项B正确;
③若a=1,b=2,则g(x)=f(x)+2,其图象由f(x)的图象向上平移2个单位长度,那么g(x)只有两个零点,所以g(x)=0只有两个实根,所以选项C错误;
④若a=1,b=-3,则g(x)的图象由f(x)的图象向下平移3个单位长度,它只有1个零点,即g(x)=0只有一个实根,所以选项D错误.
故选B.
点评:本题考查奇函数的图象特征及函数af(x)与f(x)的奇偶性关系,同时考查由f(x)到f(x)+b的图象变化.
练习册系列答案
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函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上,值域为[-3,5]的增函数,则下列说法不正确的是(  )

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已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0时,有
f(m)+f(n)
m+n
>0.
(1)证明函数f(x)在[-1,1]上单调递增;
(2)解不等式f(x+
1
2
)<f(1-x);
(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.

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设函数f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,记Ik=(2k-1,2k+1](k∈Z).已知x∈I°时,f(x)=x2,如图.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)对于k∈N*,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实数根}.

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(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在请举一例,若不存在,请说明理由.

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