Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx+sinx，-1）函数g（x）=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数g（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；
（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x-4＜0对x∈（-∞，λμ）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数解析式，即可求函数g（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）g（x）=0，可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；
（3）分类讨论，可得当x≤$\frac{π}{12}$时，函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方，由此证得结论成立．

解答 （1）解：向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx+sinx，-1），
∴函数g（x）=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4sin2x．
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）∈[2，4]；
（2）解：g（x）=0，可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∵x∈[0，2016π]，∴$\frac{kπ}{2}$∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，
∴k的值有4033个，即x有4033个；
（3）证明：不等式g（x）+x-4＜0，即 g（x）＜4-x，
故函数g（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
当x∈（0，$\frac{π}{12}$]时，g（x）单调递增，g（$\frac{π}{12}$）=2，显然g（$\frac{π}{12}$）＜4-$\frac{π}{12}$，
即函数g（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
综上可得，当x≤$\frac{π}{12}$时，函数g（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
对任意λ＞0，一定存在μ=$\frac{π}{12λ}$＞0，使λμ=$\frac{π}{12}$，满足函数g（x）的图象位于直线y=4-x的下方．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，以及向量知识的运用，函数的恒成立问题，属于中档题．