Question

作斜率为

1

3

的直线l与椭圆C：

x2

36

+

y2

4

=1交于A，B两点（如图所示），且P(3

2

，

2

)在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求出PA，PB的斜率的和为0，进而可得，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，由此可得结论；
（2）确定PA，PB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求出|PA|、|PB|，从而可求△PAB的面积．

解答：（1）证明：设直线l：y=

1

3

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将y=

1

3

x+m代入

x2

36

+

y2

4

=1中，化简整理得2x²+6mx+9m²-36=0．
于是有x1+x2=-3m，x1x2=

9m2-36

2

，kPA=

y1- 2

x1-3 2

，kPB=

y2- 2

x2-3 2

． 则

kPA+kPB= y1- 2 x1-3 2 + y2- 2 x2-3 2

= (y1- 2 )(x2-3 2 )+(y2- 2 )(x1-3 2 ) (x1-3 2 )(x2-3 2 )

，
上式中，分子=(

1

3

x1+m-

2

)(x2-3

2

)+(

1

3

x2+m-

2

)(x1-3

2

)=

2

3

x1x2+(m-2

2

)(x1+x2)-6

2

(m-

2

)=

2

3

•

9m2-36

2

+(m-2

2

)(-3m)-6

2

(m-

2

)
=3m2-12-3m2+6

2

m-6

2

m+12=0，
从而，k_PA+k_PB=0．
又P在直线l的左上方，因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线x=3

2

上．
（2）解：若∠APB=60°时，结合（1）的结论可知kPA=

3

，kPB=-

3

．
直线PA的方程为：y-

2

=

3

(x-3

2

)，代入

x2

36

+

y2

4

=1中，
消去y得14x2+9

6

(1-3

3

)x+18(13-3

3

)=0．
它的两根分别是x₁和3

2

，所以x1•3

2

=

18(13-3 3 )

14

，即x1=

3 2 (13-3 3 )

14

．所以|PA|=

1+( 3 )2

•|x1-3

2

|=

3 2 (3 3 +1)

7

．
同理可求得|PB|=

3 2 (3 3 -1)

7

．

∴S△PAB= 1 2 •|PA|•|PB|•sin60°

=

1

2

•

3 2 (3 3 +1)

7

•

3 2 (3 3 -1)

7

•

3

2

=

117 3

49

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．