Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，且经过点M(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k₁（x-2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由

PA

•

PB

=

PM

2，可确定k₁的值，从而得解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

c

a

=

1

2

，且经过点M(1，

3

2

)，
∴

1

4c2

+

3

4c2

=1，
解得c²=1，a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k₁（x-2）+1，件，
由题意可设直线l的方程为y=k₁（x-2）+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，
得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4•（3+4k₁²）•（16k₁²-16k₁-8）＞0．
整理得32（6k₁+3）＞0．
解得k₁＞-

1

2

，
又x1+x2=

8k1(2k1-1)

3+4 k 2 1

，x1x2=

16 k 2 1 -16k1-8

3+4 k 2 1

，
因为

PA

•

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=

5

4

．
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+

k

2 1

)=

5

4

．
所以[

16 k 2   -16k2-8

3+4 k 2

-2•

8k(2k-1)

3+4 k 2

+4](1+

k

2

)=

4+4 k 2

3+4 k 2

=

5

4

，解得k1=±

1

2

．
因为A，B为不同的两点，所以k1=

1

2

．
于是存在直线l₁满足条件，其方程为y=

1

2

x．…（12分）

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．