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已知
1
m
+
1
n
=1
(m>0,n>0),当mn取得最小值时,直线y=-
2
x+2与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1
的交点个数为
2
2
分析:由基本不等式可求mn取得最小值时的m,n的值,然后讨论:当x>0,y>0;②当x>0,y<0,③当x<0,y>0;④当x<0,y<0四种情况分别求出方程所表示的曲线,作出图象能得到结果
解答:解:由基本不等式可得,1=
1
m
+
1
n
≥2
1
mn

∴mn≥4
当且仅当
1
m
=
1
n
=
1
2
时等号成立,
也就是所以m=2,n=2.
∵曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1

∴①当x>0,y>0,x2+y2=2表示 圆心在原点,半径为
2
的圆
②当x>0,y<0,x2-y2=2 以x轴为实轴的双曲线;
③当x<0,y>0,y2-x2=2表示以y轴为实轴的双曲线;
④当x<0,y<0,x2+y2=-2此时无解.
所以如图得到图象,
结合图象知直线y=-
2
x+2
与曲线交点个数是2个.
故答案为:2.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,解题时要注意均值定理和分类讨论思想、数形结合思想的合理运用.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,常因分类不清易出错,是高考的重点.
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m
+
1
n
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1
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2
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