Question

10．已知函数f（x）=x⁴+ax³+x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线为3x-y-1=0时，求a，b的值；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤1在区间[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入函数f（x），求出函数的导数，求出切点，从而求出b的值；
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f′（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．

解答 解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+2x，
若函数f（x）在x=1处的切线为3x-y-1=0，即：y-2=3（x-1），
∴切点是（1，2）
由f′（1）=4+3a+2=3，解得：a=-1，
∴f（1）=1-1+1+b=2，解得：b=1；
（2）f′（x）=x（4x²+3ax+2）
因f（x）仅在x=0处有极值，等价于4x²+3ax+2≥0
对x∈R恒成立，
即（3a）²-4•4•2=9a²-32≤0，
得-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$≤a≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
此时，x∈（-∞，0），f′（x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0
f（x）仅在x=0处有极小值，所求a的范围是：[-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$]；
（3）∵f′（x）=4x³+3ax²+2x=x（4x²+3ax+2），
令h（x）=4x²+3ax+4，由条件a∈[-1，1]，可知△=9a²-64＜0，
从而h（x）=4x²+3ax+4＞0恒成立．
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
因此函数f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）与f（-1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤1}\\{f（-1）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤-2-a}\\{b≤-2+a}\end{array}\right.$在a∈[-1，1]上恒成立．
所以b≤-3，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．