Question

已知函数f（x）=4cos²

ωx

2

+2sinωx-2+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高的横坐标为2．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[8，16]上的最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可化简f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）+a，依题意，2ω+

π

4

=

π

2

，从而可求ω的值；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）+a，x∈[8，16]⇒

π

8

x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]，利用正弦函数的性质，结合题意（f（x）在区间[8，16]上的最大值为3）即可求得a的值．

解答：解：（I）f（x）=2cosωx+2sinωx+a=2

2

sin（ωx+

π

4

）+a．…（3分）
由题意知，2ω+

π

4

=

π

2

，得ω=

π

8

．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）+a，
∵x∈[8，16]
∴

π

8

x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]．…（8分）
由图象可知，当

π

8

x+

π

4

=

9π

4

，即x=16时，f（x）最大，
由2

2

sin

9π

4

+a=3得：a=1．…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，考查推理与运算能力，属于中档题．