Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0代入即可得答案；
（2）用定义确定函数f（x）是[0，1]上的增函数，所以当x=1时函数f（x）取最大值．

解答：解：（1）对于条件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0，
又由条件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1），
∴根据③，若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
∴f（x₂）-f（x₁）
=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）≥0．
即f（x₂）≥f（x₁），故f（x）在[0，1]上是单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．

点评：本题主要考查抽象函数的单调性以及基本不等式的有关问题．解决抽象函数问题时，会经常对抽象函数的恒等式赋值处理或者会数形结合来处理．