精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
14.已知函数f(x)=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$,其中a∈R,且曲线y=f(x在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x.
(1)求a的值及在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

分析 (1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点,由切线方程,可得a,进而得到切线方程;
(2)求得函数的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,即可得到极值.

解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$的导数为
f′(x)=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$,
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-$\frac{3}{4}$-a,
由于切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x,即有-$\frac{3}{4}$-a=-2,
解得a=$\frac{5}{4}$,
则f(x)=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$,f(1)=$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{2}$=0,
则在点(1,0)处的切线方程为y=-2(x-1),即为2x+y-2=0;
(2)f(x)=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$,(x>0),
导数f′(x)=$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{4{x}^{2}}$=$\frac{(x-5)(x+1)}{4{x}^{2}}$,
由f′(x)>0,解得x>5;由f′(x)<0,解得0<x<5.
则f(x)的增区间为(5,+∞),减区间为(0,5),
即有f(x)的极小值为f(5)=-ln5,无极大值.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查运算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.抛物线y=2x2的焦点坐标是(  )
A.($\frac{1}{2}$,0)B.(-$\frac{1}{2}$,0)C.(0,$\frac{1}{8}$)D.(0,-$\frac{1}{8}$)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是(  )
A.$\frac{3}{4}$πR2B.$\frac{9}{2}$πR2C.$\frac{9}{4}$πR2D.$\frac{9}{8}$πR2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知$|\overrightarrow a|=1$,$|\overrightarrow b|=2$.
(1)若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$,求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$;   
(2)若$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$垂直,求当k为何值时,$(k\overrightarrow a-\overrightarrow b)⊥(\overrightarrow a+2\overrightarrow b)$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.已知实数x,y满足条件$\left\{\begin{array}{l}x-2y-4≤0\\ 2x+y-8≤0\\ x≥m\end{array}$,若$\frac{y}{x}$的最大值为4,则$\frac{y}{x}$的最小值为(  )
A.-1B.-$\frac{4}{3}$C.-$\frac{3}{4}$D.-2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.在△ABC中,若sinAcosB=1-cosAsinB,则△ABC为(  )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知向量$\overrightarrow a=(-3,2),\overrightarrow b=(2,1),\overrightarrow c=(3,-1),t∈R$.
(1)若$\overrightarrow a-t\overrightarrow b与\overrightarrow c$共线,求实数t;
(2)求$|{\overrightarrow a+t\overrightarrow b}|$的最小值及相应的t值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

3.设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x-$\frac{1}{i}$|<$\sqrt{2}$,x∈R},则M∩N=[0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.证明:1<$\frac{a}{a+b+d}$+$\frac{b}{b+c+a}$+$\frac{c}{c+d+b}$+$\frac{d}{d+a+c}$<2(其中a,b,c,d∈R+

查看答案和解析>>

同步练习册答案