分析 (1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点,由切线方程,可得a,进而得到切线方程;
(2)求得函数的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,即可得到极值.
解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$的导数为
f′(x)=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$,
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-$\frac{3}{4}$-a,
由于切线垂直于直线y=$\frac{1}{2}$x,即有-$\frac{3}{4}$-a=-2,
解得a=$\frac{5}{4}$,
则f(x)=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$,f(1)=$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{2}$=0,
则在点(1,0)处的切线方程为y=-2(x-1),即为2x+y-2=0;
(2)f(x)=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$,(x>0),
导数f′(x)=$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{4{x}^{2}}$=$\frac{(x-5)(x+1)}{4{x}^{2}}$,
由f′(x)>0,解得x>5;由f′(x)<0,解得0<x<5.
则f(x)的增区间为(5,+∞),减区间为(0,5),
即有f(x)的极小值为f(5)=-ln5,无极大值.
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ($\frac{1}{2}$,0) | B. | (-$\frac{1}{2}$,0) | C. | (0,$\frac{1}{8}$) | D. | (0,-$\frac{1}{8}$) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{4}$πR2 | B. | $\frac{9}{2}$πR2 | C. | $\frac{9}{4}$πR2 | D. | $\frac{9}{8}$πR2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | -$\frac{4}{3}$ | C. | -$\frac{3}{4}$ | D. | -2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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