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设椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．

解：如图，∵F（- $\text{[math]}$ ，0），l：x=-2 $\text{[math]}$ ，离心率e= $\text{[math]}$ ．设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|= $\text{[math]}$ （|AA₁|+|BB₁|）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ |AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|= $\text{[math]}$ |AB|，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

即cos∠PMM₁= $\text{[math]}$ ，
∴sin∠PMM₁= $\text{[math]}$ ，tam∠PMM₁= $\text{[math]}$ ，
又k_PM=±tam∠PMM₁=± $\text{[math]}$
∵AB⊥PM，∴k_AB=- $\text{[math]}$ =± $\text{[math]}$ ，
又AB过点F（- $\text{[math]}$ ，0），所以AB的方程为y=± $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）．
即直线AB的方程为： $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|= $\text{[math]}$ （|AA₁|+|BB₁|）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ |AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|= $\text{[math]}$ |AB|，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，cos∠PMM₁= $\text{[math]}$ ，由此能求出AB的方程．
点评：本题考查圆锥曲线的基本几何量的求法，如焦点、准线、离心率等．考查直线与圆锥曲线的基本问题的研究方法，如弦长计算、弦中点坐标求法等．考查圆锥曲线的定义的灵活应用．

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