Question

13．在等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{4}$，8a₂，3a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₁₆a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列通项公式和等差数列的性质，列出方程，求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当a_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$时，b_n=log₁₆a_n=$\frac{3}{4}-\frac{n}{2}$，当${a}_{n}=（\frac{1}{4}）^{n-2}$时，b_n=log₁₆a_n=1-$\frac{n}{2}$，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵在等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{4}$，8a₂，3a₃，a₄成等差数列，
∴2[3×（$\frac{1}{4}{q}^{2}$）]=$8×（\frac{1}{4}q）$+$\frac{1}{4}{q}^{3}$，
解得q=2或q=4或q=0（舍），
∴${a}_{n}=2×（\frac{1}{4}）^{n-1}$或${a}_{n}=4×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=（$\frac{1}{4}$）^n-2．
（2）当a_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$时，b_n=log₁₆a_n=$lo{g}_{16}[2×（\frac{1}{4}）^{n-1}]$=$lo{g}_{16}{2}^{3-2n}$=$\frac{3-2n}{4}$=$\frac{3}{4}-\frac{n}{2}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=$\frac{3}{4}n-\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）$=$\frac{3}{4}n-\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n}{2}-\frac{{n}^{2}}{4}$；
当${a}_{n}=（\frac{1}{4}）^{n-2}$时，b_n=log₁₆a_n=log₁₆[（$\frac{1}{4}$）^n-2]=1-$\frac{n}{2}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=n-$\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）$=n-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3n}{4}-\frac{{n}^{2}}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分组求和法的合理运用．