Question

【题目】设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A.（1，+∞）
B.（2+ ，+∞）
C.（2﹣ ，+∞）
D.（3，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f[f（x）﹣log2x]=3，

∴f（x）﹣log2x为大于0的常数，

设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t（t＞0），

又由f（t）=3，即log2t+t=3，解得t=2；

∴f（x）=log2x+2，f′（x）= ，

∴f（x）+f′（x）=log2x+2+ =a，

设g（x）=log2x+2+ ，则g′（x）= ，

∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，

∴x=1时，函数取得最小值2+ ，

∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，

∴a＞2+ ，

故答案为：B．

由f（x）在（0，+∞）上的单调函数，且f[f（x）﹣log2x]=3，则f（x）﹣log2x一定为大于0的常数，进行换元，令设t=f（x）﹣log2x，不难得到f（x）=log2x+t（t＞0），且f（t）=3，解得t=2，所以可得到f（x），f′（x），构造函数g（x）=f（x）+f′（x），求导，使得g（x）在（0，+∞）有两个根即可.