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【题目】设定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)﹣log2x]=3,若方程f(x)+f′(x)=a有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,+∞)
B.(2+ ,+∞)
C.(2﹣ ,+∞)
D.(3,+∞)

【答案】B
【解析】解:∵f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,f[f(x)﹣log2x]=3,

∴f(x)﹣log2x为大于0的常数,

设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t(t>0),

又由f(t)=3,即log2t+t=3,解得t=2;

∴f(x)=log2x+2,f′(x)=

∴f(x)+f′(x)=log2x+2+ =a,

设g(x)=log2x+2+ ,则g′(x)=

∴函数g(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,

∴x=1时,函数取得最小值2+

∵方程f(x)+f′(x)=a有两个不同的实数根,

∴a>2+

故答案为:B.

由f(x)在(0,+∞)上的单调函数,且f[f(x)﹣log2x]=3,则f(x)﹣log2x一定为大于0的常数,进行换元,令设t=f(x)﹣log2x,不难得到f(x)=log2x+t(t>0),且f(t)=3,解得t=2,所以可得到f(x),f′(x),构造函数g(x)=f(x)+f′(x),求导,使得g(x)在(0,+∞)有两个根即可.

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测试指标

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

芯片数量(件)

8

22

45

37

8

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